Oscillatori classici
energia continua · equipartizione- Energia totale
- Modi eccitati (⟨E⟩ > ½ kBT)
Radiazione di corpo nero · simulazioni
Corpo nero e catastrofe ultravioletta
Due schede: gli oscillatori della cavità a contatto con un bagno termico, classici e quantistici, e lo spettro di corpo nero in funzione della frequenza e della lunghezza d'onda.
Oscillatori nel bagno termico
Ogni colonna è un modo stazionario della cavità: un oscillatore di frequenza $\nu = n\,\nu_1$. Il bagno termico a temperatura $T$ prova continuamente a dare o togliere energia a ciascun modo (algoritmo di Metropolis). Nel pannello classico l'energia di un oscillatore varia con continuità; in quello quantistico può cambiare solo di un quanto $h\nu$ alla volta.
$$\langle E\rangle_{\text{classico}} = k_BT \qquad\qquad \langle E\rangle_{\text{quantistico}} = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1}$$
$$u(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,\langle E\rangle\,d\nu \qquad\qquad u(\lambda)\,d\lambda = \frac{8\pi}{\lambda^4}\,\langle E\rangle\,d\lambda, \qquad \nu = \frac{c}{\lambda}$$
Oscillatori quantistici
livelli discreti · ogni gradino è un fotone hν- Energia totale
- Modi eccitati (⟨E⟩ > ½ kBT)
- Salite rifiutate dal bagno
classicoquantistico
Cosa osservare
- Premi Svuota gli oscillatori: tutti ripartono da energia zero e il bagno li riempie. A sinistra ogni colonna sale fino a $k_BT$, qualunque sia la frequenza. A destra salgono solo i modi a bassa frequenza.
- Nel pannello quantistico ogni blocco di una colonna è un quanto $h\nu$, cioè un fotone in quel modo. I cerchietti vuoti che scendono e tornano indietro sono salite rifiutate: se $h\nu \gg k_BT$ la probabilità di accettare un quanto è $e^{-h\nu/k_BT}$, quasi zero. Passa il mouse su una colonna per leggere i valori.
- Premi Aggiungi modi uno alla volta: l'energia classica cresce di $k_BT$ per ogni modo aggiunto, senza limite. È la catastrofe ultravioletta. Quella quantistica si stabilizza.
- Confronta i due spettri: in frequenza la divergenza classica è ad alte $\nu$, in lunghezza d'onda a piccole $\lambda$. È la stessa catastrofe, vista con due variabili diverse.
Lo spettro di corpo nero
La radianza spettrale di Planck confrontata con la previsione classica di Rayleigh–Jeans, in unità SI. Le due curve coincidono dove $h\nu \ll k_BT$ (basse frequenze, grandi lunghezze d'onda) e si separano nell'ultravioletto, dove la curva classica diverge.
Variabile spettrale
Togli la spunta per vedere quanto cresce l'emissione con T (σT⁴).
PlanckRayleigh–Jeans (classico)
- Picco (legge di Wien)
- Emittanza totale σT⁴
- Colore apparente
Cosa osservare
- Passa da λ a ν: il picco non cade nello stesso punto, perché $B_\lambda$ e $B_\nu$ sono densità rispetto a variabili diverse ($\lambda_{\max}\,\nu_{\max} \neq c$).
- Con la scala fissa, raddoppiare T moltiplica l'area sotto la curva per 16: legge di Stefan–Boltzmann.
- Solo attorno ai 5000–6000 K il picco cade nel visibile: il Sole emette al massimo dove i nostri occhi sono più sensibili.