Onde stazionarie · corde, tubi sonori, serie di Fourier

Onde stazionarie e armonici

Dalla corda di chitarra agli strumenti a fiato: perché esistono solo certe frequenze, come suonano, e come ogni forma d'onda si costruisce sommando armonici.

Onde stazionarie e armonici

Una corda fissata ai due estremi, in $x=0$ e $x=\mathrm{L}$, può vibrare solo con forme in cui entrambi gli estremi restano fermi. Sono gli armonici: nella corda ne entra un numero intero $m$ di mezze lunghezze d'onda. Ogni armonico ha la sua frequenza, e quindi la sua nota.

La corda di chitarra

Corda (accordatura standard)

Armonico m

Velocità dell'animazione

Corda vibrante tra $0$ e $\mathrm{L}$Tratteggio: inviluppo $\pm A_m\sin(m\pi x/\mathrm{L})$. Punti arancio: nodi. Il moto è rallentato moltissimo per renderlo visibile.

La serie armonica sul pentagrammaAltezze reali (La4 = 440 Hz). In evidenza l'armonico scelto; «8va» indica che la nota suona un'ottava sopra lo scritto.

Frequenza
Lunghezza d'onda sulla corda
Nota più vicina
Scarto dal temperamento equabile

Onde di pressione negli strumenti a fiato

Nei fiati vibra la colonna d'aria. Le molecole oscillano avanti e indietro lungo il tubo (onda longitudinale) e la pressione cambia di conseguenza. A un estremo aperto la pressione resta quella atmosferica: c'è un nodo di pressione. A un estremo chiuso l'aria non può spostarsi: c'è un nodo di spostamento e un ventre di pressione.

Tubo (L = 0,655 m, v = 343 m/s)

Armonico

Colonna d'aria nel tuboIn alto: strati d'aria che oscillano; oro = compressione, blu = rarefazione. In basso: pressione $p(x,t)$ e spostamento $s(x,t)$ con i loro inviluppi.

pressione p(x,t)spostamento s(x,t)

Frequenza
Nota più vicina
Armonici possibili

Cosa osservare

L'armonico $m$ ha $m+1$ nodi (estremi compresi) e $m$ ventri, con $\lambda_m = 2\mathrm{L}/m$ e $\omega_m = m\,\omega_1$ (cioè $f_m = \omega_m/2\pi = m f_1$): la frequenza cresce in proporzione a $m$.
Sul pentagramma: gli armonici 1, 2, 4, 8 sono ottave. Il 3° è un'ottava più una quinta, il 5° una terza maggiore, ma più bassa di circa 14 cent rispetto al pianoforte. Il 7° è calante di oltre 30 cent: non coincide con nessuna nota della tastiera.
Sfiorando la corda nel punto $\mathrm{L}/m$ si eliminano tutti gli armonici che lì non hanno un nodo: è il principio degli «armonici» suonati sulla chitarra.
Nel tubo aperto–aperto ci sono tutti gli armonici. Nel tubo chiuso–aperto solo quelli dispari ($\omega_m = (2m-1)\,\pi v/2\mathrm{L}$, cioè $f = (2m-1)\,v/4\mathrm{L}$) e la fondamentale è un'ottava più bassa a parità di lunghezza: per questo il clarinetto suona più grave del flauto ed ha un timbro diverso.
Pressione e spostamento sono sfasati nello spazio: dove l'aria si sposta di più (ventre di spostamento) la pressione non cambia (nodo di pressione), e viceversa.

Ogni forma è una somma di armonici

Qualsiasi forma iniziale della corda tra $0$ e $\mathrm{L}$, purché ferma agli estremi, si scrive come somma di armonici $\sin(m\pi x/\mathrm{L})$ con ampiezze $A_m$. Scegli le ampiezze trascinando le barre, usa una forma pronta oppure disegnala tu: la pagina calcola gli $A_m$ con l'integrale di Fourier.

$$u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty} A_m\cos(\omega_m t+\phi_m)\,\sin\frac{m\pi x}{\mathrm{L}}=\sum_{m=1}^{\infty}u_m(x,t),\qquad \omega_m=m\,\omega_1=\frac{m\pi v}{\mathrm{L}}$$$$\text{corda ferma a } t=0\ \ (\phi_m=0):\qquad A_m=\frac{2}{\mathrm{L}}\int_0^{\mathrm{L}}u(x,0)\,\sin\frac{m\pi x}{\mathrm{L}}\,dx\qquad(\text{qui la somma si ferma a } m=N)$$

Numero di armonici N

Velocità della vibrazione

Forme pronte

Ampiezze degli armonici $A_m$Trascina ogni barra in su o in giù. Ogni armonico ha il suo colore, uguale nei grafici sotto.

Gli armonici, uno per uno$u_m(x,t) = A_m\cos(\omega_m t)\sin(m\pi x/\mathrm{L})$ per ogni $m \le N$.

La sommaLinea chiara: somma dei primi N armonici. Tratteggio giallo: forma iniziale da ricostruire.

somma degli armoniciforma iniziale

Armonici usati
Scarto quadratico medio dalla forma iniziale
Armonico più intenso

Cosa osservare

Forme lisce, come l'impulso, si ricostruiscono bene con pochi armonici. Spigoli e salti, come nell'onda quadra, ne richiedono molti, e vicino al salto resta un'oscillazione di circa il 9 % (fenomeno di Gibbs).
Pizzicata al centro: gli armonici pari sono nulli, perché hanno un nodo proprio nel punto pizzicato. Pizzicata vicino al ponte: gli armonici alti pesano di più, e il suono è più brillante. Prova ad ascoltarle.
Con «Fai vibrare» ogni armonico oscilla con la sua pulsazione $\omega_m = m\,\omega_1$: la forma cambia nel tempo, ma dopo un periodo $T_1 = 2\pi/\omega_1$ torna identica.
Disegna una forma qualsiasi (gli estremi restano fissati a zero) e guarda quanti armonici servono per riprodurla.