1. Abstract:

Slide 0

  • P.W. Anderson nel 1957 mise in luce che nonostante l’intrinseca delocalizzazione dovuta all’indeterminazione quantistica sulla posizione il moto quantistico di una particella, altrimenti libera, in un ambiente disordinato può portare alla sua localizzazione spaziale. Sorprendentemente in alcuni casi ciò avveniva anche se il disordine era molto piccolo, al limite nullo. La localizzazione di Anderson non solo di sistemi quantistici ma in generale di sistemi classici governati da una dinamica ondulatoria è stata poi provata esistere sperimentalmente in guide d’onda unidimensionali. Paradossalmente nei sistemi a stato solido è più difficile verificare l’esistenza di fenomeni solamente riconducibili a questo effetto mentre è possibile in molti casi verificare l’esistenza di una transizione fra uno stato conduttivo (delocalizzato) ed uno isolante (localizzato) nei metalli disordinati.

  • Va bene ma questo cosa c’entra con l’ottimizzazione dei devices organici?

  • Aspetta che lo spiego nel seminario!

NOTE:

Note Inizio da molto lontano perchè invece di focalizzarmi subito sulla cosa specifica spiego un po cosa c’entra la fisica teorica con problemi legati alla fisica ed alla chimica dei materiali
Note Più in generale passerò un po di tempo a spiegare che la fisica teorica ed in particolare concetti di meccanica statistica possono essere fruttuosamente impiegati in diversi contesti
Note non mi rimarrà molto tempo per entrare nei dettagli sia dei calcoli che delle possibili applicazioni. Ma ritengo debba invece suscitare l’interesse di uno studente per temi generali che poi potranno essere approfonditi. Le referenze utili si trovano in fondo a questo documento.
Note https://www.youtube.com/watch?v=iywaBOMvYLI

2. My Outline

  1. Motivation: curiosity driven research

  2. General introduction in Statistical vs Quantum mechanics

  3. Boltzmann Anderson Parisi, dynamic and static disorder

  4. Static disorder in statistical mechanics: an example the glass

  5. Static disorder in quantum systems: Anderson localization

  6. Applications to organic materials: dynamical restoring of diffusion

  7. Group activity

Note ..mi piace introdurre idee generali che vengono da lontano e che dimostrino che ci deve essere una solida preparazione di base per affrontare anche argomenti tecnologicamente rilevanti. Non capisco perchè l’outline mi viene sempre in inglese.

3. Meccanica statistica

Formulazione meccanica della termodinamica: E' possibile ricavare i principi della termodinamica soprattutto il secondo da leggi meccanica in generale?

Il comportamento di molti corpi interagenti è nel suo insieme dissimile qualitativamente dal comportamento di pochi corpi cosi come predetto dalle leggi meccaniche

Dissipazione ed Entropia come predetto dal mitico…

4. Boltzmann

Slide 2

Ludwig Boltzmann (1844, 1906) è famoso fra l’altro per i seguenti risultati notevoli

  • Formulazione statistica dell’entropia

  • Equilibrazione dei sistemi di molti corpi interagenti: Equazione di Boltzmann, il disordine dinamico

4.1. L’Equazione di Boltzmann

Slide 3
Note …oltre alla intuizione di quella che è stata chiamata nella teoria della informazione Entropia di Shannon (funzione H) il mitico Boltzmann forni una equazione di evoluzione per H che dimostrò che l’equilibrio si raggiungeva proprio grazie all’interazione fra le varie componenti del sistema. Un disordine dinamico che lui introdusse con il termine Stosszahlansatz caos molecolare con cui giustificò la randomizzazione delle velocità in un gas debolmente interagente
Note (Figura) Rappresentazione pittorica della equazione di Boltzmann, il tempo di rilassamento delle correlazioni di velocità è quello che entra nella formula della diffusività o conducibilità nell’approccio di Drude grazie alle relazioni che legano le fluttuazioni in un sistema non sottoposto a campo esterno alla dissipazione nello stesso sistema sottoposto a campo esterno.

5. Anderson (I)

Slide 4

Philip Warren Anderson (1923, ), premio Nobel per la fisica nel 1977 è famoso fra l’altro per i seguenti risultati notevoli

  • La rottura spontanea della simmetria

  • La localzzazione quantistica dovuta al disordine "Anderson localization"

Nella prolusion al nobel disse fra l’altro:

Very few believed (localization) at the time, and even fewer saw its importance; among those who failed to fully understand it at first was certainly its author. It has yet to receive adequate mathematical treatment, and one has to resort to the indignity of numerical simulations to settle even the simplest questions about it

Nonostante la scarsa opinione di Anderson al riguardo un articolo su basi numeriche di J. T. Edwards, D. J. Thouless (1972) contrbuì notevolmente alla complrensione del fenomeno.

5.1. Rottura Spontanea della Simmetria

Slide 5
Note Partendo dal paradigma del modello di Ising per il sistema magnetico colle freccette che rappresentano lo spin, mostro la transizione ordine disordine, una transizione di fase del secondo ordine. Ma che non avviene a una dimensione come mostrato nella figura solo per motivi grafici. La fase ordinata è caratterizzata da un ordine a lungo raggio spaziale.

La rottura spontanea della simmetria $\sigma_i\rightarrow -\sigma_i$ che ho nella Hamiltoniano in assenza di campo esterno avviene alla transizione di fase quindo il sistema sceglie uno dei due stati degeneri in energia mostrati per T=0.

Importantissimo: esiste una lunghezza di correlazione che diverge al punto critico in una transizione di $2^a$ specie.

6. Parisi

Slide 6

Giorgio Parisi è un fisico italiano (1948, ) notissimo nel mondo, tra l’altro, per aver formulato una teoria delle transizioni di fase in sistemi dove è presente un disordine statico intrinseco che previene la formazione di ordine a lungo raggio

  • Teoria di campo medio in sistemi “disordinati” (vetri di spin)

  • Parametro d’ordine

  • Rottura della simmetria di “replica” nei vetri di spin

  • Lunghissimi tempi di autocorrelazione per gli spin (Sompolinski, Crisanti)

7. il "vetro" di spin

Slide 7
Note Partendo dalla paradigma del modello di Edwards-Anderson (o nella sua versione di campo medio Sherrington-Kirkpatrick) il disordine statico modellizzato dai parametri $J_{i,j}$ casuali, produce la mancanza di ordine magnetico spaziale a lungo raggio (sempre figura colle freccette). Però a bassa temperatura ogni freccetta è autocorrelata nel tempo per un tempo infinito, quindi correlazione temporale a lunghezza infinita.

8. il vetro quello vero

Slide 8

La viscosità è il coefficiente che lega lo sforzo di taglio all differenza di velocita infinitesima fra due strati di fluido che si muovono a contato e parallelamente fra loro.

Un solido ha una viscosità infinita, un liquido una viscosità finita ed un vetro? Un vetro ha una viscosità mooooooolto grande ma non ha una rottura di simmetria traslazionale (non è ordinato come un cristallo).

Ci sono due tipi di vetri quelli forti come la silice che hanno una viscosità ed anche un coefficiente di diffusione attivato (inversamente) secondo la legge esponenziale di Svante Arrhenius. I vetri deboli invece hanno una legge diversa per l’aumento della viscosità con il diminuire della temperatura. Essi possono in qualche modo essere "rappresentati" a tempi intermedi da un comportamento tipo vetro di spin (in teoria di campo medio). La caratteristica sono le correlazioni temporali della *densità* che diventano estremamente lunghe.

9. il vetro quello "vero"

Slide 9

Qui riporto una simulazione di modello classico interagente per un vetro fragile (ortoterfenile) [S. Mossa, R. Di Leonardo, G. Ruocco, and M. Sampoli PRE 2000]

La autocorrelazione della densità rappresentatta qui dalla funzione intermedi adi scattering si spegne con estrema lentezza, notare la fomrazione di un "plateau" reminescente del comportamento di un vetro di spin.

la localizzazione è dovuta alla mutua interazione fra le particelle che limita fortemente la loro diffusione quando la densità è elevata

10. Anderson (II)

Slide 10

  • Sistemi quantistici disordinati, il disordine può localizzare la funzione d’onda mentre un potenziale periodico no!

10.1. Meccanica Quantistica

Slide 11

Probabilità in meccanica statistica (classica) ed in meccanica quantistica. Effetto di sovrapposizione.

Note (Figura) la probabilità legata al modulo quandro della funzione d’onda è un concetto proprio dell’interpretazione di Copenhagen della meccanica quantistica (ma non solo di quella…) lo stato quantistico è in generale una sovrapposizione e quindi (figura del double slit experiment) la probabilità totale non è la somma delle probabibilità ma ci sono termini di interferenza. Importante in un sistema quantistico termalizzato la lunghezza d’onda termica di De Broglie è una misura dell’estensione spaziale dei fenomeni di coerenza, brutalmente al disotto di $\lambda$ vediamo la particella come un’onda.

10.2. La localizzazione di Anderson (I)

Slide 12

  • il teorema di Bloch e gli stati estesi,+ interazione $\rightarrow$ diffusione

  • Aggiunta di disordine statico, lo stato localizzato, la lunghezza di localizzazione assenza di diffusione.

10.3. La localizzazione di Anderson (II)

Slide 13

  • il caso unidimensionale: strong localization

  • il caso tridimensionale: weak localization

  • il caso bidimensionale: mobility edge quantum phase transiton

  • La transizione di fase quantistica ha una lunghezza (di localizzazione) che diverge !

11. Disordine dinamico: eppur si muove!

Slide 14

  • Un potenziale disordinato ma dipendente dal tempo reinstaura il regime diffusivo su una scala di tempo che è proprio la scala di tempo associata al moto del potenziale. Peccato che nella slide non si vede….

12. Diffusione e conducibilità di nuovo Boltzmann

  • Se diffondo conduco (massa, carica elettrica, energia calore…)

  • Se localizzo non conduco

  • L’esempio del metallo: la meccanica quantistica mi dice che in assenza di disordine o di interazioni avrei un conduttore perfetto! La resistenza elettrica viene dalle possibili interazioni dei portatori di carica.

  • Nella localizzazione di Anderson io posso condurre in maniera Ohmica a piccolo disordine solo per distanze maggiori della distanza di localizzazione

13. Semiconduttori organici cristallini (I)

Slide 15

  • “Elettronica organica” sostituzione del silicio con materiali organici per la costruzione dispositivi come i FET

  • la “mobilità” elettrica (μ=eD/kBT) è una caratteristica da ottimizzate

  • la mobilità per il semiconduttori organici è una via di mezzo fra sistemi molecolari disordinati e semiconduttori cristallini “classici” come il Silicio

14. Semiconduttori organici cristallini (II)

Slide 16

  • Solidi di Van Der Waals: gli atomi sono legati debolmente dunque il solido si può flettere facilmente! (BUONO)

  • Solidi di Van Der Waals: gli atomi sono legati debolmente dunque oscillano molto a temperatura ambiente! (NO BUONO)

  • Utilizzazioni: elettronica organica

  • Obbiettivo: ottimizzare le caratteristiche di trasporto di carica

  • Possiamo trattare il sistema elettronico dove i parametri dell’Hamiltoniano dipendono dal tempo e sono modulati dalla oscillazioni reticolari.

15. Semiconduttori organici cristallini: diffusività

Slide 17

  • l’hopping (integrale di scambio) in un modello tight-binding fluttua nel tempo con una fluttuazione $\Delta J$.

  • Le fluttuazioni dell’hopping sono correlate su di un tempo $\tau_i$

  • La scala di tempo $\tau_i$ è quella sulla quale si re-instaura la diffusione e quindi una conducibilità di tipo Ohmico.

  • Purtroppo la predizione data dall’equazione di Boltzmann è troppo ottimistica ma posso ottimizzare la struttura affinchè conduca di piu e si avvicini alle predizioni di Boltzmann…

16. Semiconduttori organici cristallini: ottimizzazione (I)

Slide 18

  • modello reticolare bidimensionale “tight binding” parametri Ja,Jb,Jc

  • studio parametrico in funzione del rapporto Ja/Jb con (Jb=Jc) parametrizzato in un “angolo” theta

17. Semiconduttori organici cristallini: ottimizzazione (II)

Slide 19

  • studio parametrico in funzione del rapporto Ja/Jb parametrizzato in un “angolo” theta

  • la maggior parte delle molecole costituenti nelle diverse fasi cristalline si trovano nella regione dove le correzioni di localizzazione transiente sono importati l’idea è quella di abbassare il rapporto $\Delta J/J$ un po come l’inverso del rapporto deficit/PIL.

Note In sostanza se io aumento l’integrale di hopping p.es. avvicinando fra loro le molecole non è certo che migliori le caratteristiche del sistema, la fase dell’hopping conta molto e questo è un effetto puramente quantistico! Questo si vede considerando che nel diagramma mostrato i punti a $\theta_0$ e a $\pi-\theta_0$ hanno gli stessi moduli degli hoppings.
Note La figura rappresenta il Diagramma di fase del trasporto di carica a temperatura ambiente in semiconduttori organici, ottenuto con J = 0.1eV e T = 0.25J. L’area ombreggiata indica il crossover dalla localizzazione transiente al trasporto di banda, calcolato per il range tipico dei tempi di fluttuazione molecolare riscontrati nei materiali attuali. La linea tratteggiata è il limite Mott Ioffe Regel definito da $(\hbar/\tau)/J$ = 0.25.

18. Le nostre attività aldilà di questa

  • disordine e transizione di Anderson in sistemi interagenti con vibrazioni reticolari

  • sistemi quantistici di spin disordinati, entanglement e correlazione quantistica in presenza di disordine

  • sistemi di elettroni fortemente interagenti

19. Sistemi quantistici di spin disordinati

Slide 20

Qui faccio vedere che la transizione di tipo "vetroso" in un vetro di spin quantistico ha degli effetti misurabili sull’entanglement nello stato fondamentale.

20. Titoli di coda

Grazie ai miei collaboratori qui…

Carlo Pierleoni: large polarons and their properties by Path Integral Monte Carlo

Simone Paganelli: Disorder in quantum spin chains, coherence effects in in strongly interacting mesoscopic systems

…ed all’estero

Gianluca Rastelli: (University of Konstantz DE) Polarons in polarizable medium

Domenico Di Sante: (University of Würzburg DE) Polaronic features in disordered systems oxides at low denisty, interplay with Anderson transitions and electron-phonon interaction

Simone Fratini: (CRNS Grenoble FR) a lot of things…

Vlad Dobrosavlievich: (Florida State University USA) Anderson localization and electron-phonon interaction

Didier Mayou: (CRNS Grenoble FR)Relaxation time approximation

Giorgio Sangiovanni & Alessandro Toschi: (University of Würzburg DE, TU Wien AT) The limits of perturbation expansion for multiparticle correlations in strongly interacting electronic systems

21. Referenze generali

22. Referenze specifiche

22.1. Spin glass

  1. S. Ciuchi, F.de Pasquale "Non linear relaxation and ergodicity breakdown in random anisotropy spin glasses" Nucl. Phys. B300 [FS22)] ( 1988) https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321388905858?via%3Dihub

  2. S. Ciuchi and A. Crisanti "Different Scenarios for Critical Glassy Dynamics" Europhys. Lett. 49, 754 ( 2000) https://iopscience.iop.org/article/10.1209/epl/i2000-00215-y/meta

22.2. Conduction in Organics

  1. S. Fratini, S. Ciuchi
    "From transient localization to band transport: on quantum corrections and lack thereof"
    https://arxiv.org/abs/1903.12603

  2. S. Fratini, S. Ciuchi, D. Mayou, G. Trambly de Laissardiére and A. Troisi
    "A map of high-mobility molecular semiconductors"
    Nat. Mater. 16, 998 (2017)
    https://dx.doi.org/10.1038/nmat4970

  3. S. Fratini, D. Mayou, and S. Ciuchi
    "The Transient Localization Scenario for Charge Transport in Crystalline Organic Materials."
    Advanced Functional Materials 26, 2292 (2016)
    https://dx.doi.org/10.1002/adfm.201502386

  4. S. Bera, N. Gheeraert, S. Fratini, S. Ciuchi, S. Florens
    "Impact of quantized vibrations on the efficiency of interfacial charge separation in photovoltaic devices."
    Phys. Rev. B (Rapid Communications) 91, 041107 (2015)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.91.041107

  5. Tahereh Nematiaram, Sergio Ciuchi, Xiaoyu Xie, Simone Fratini and Alessandro Troisi
    "A Practical computation of the charge mobility in molecular semiconductors using transient localization theory"
    J.Phys.Chem. C, 123, 6989 (2019)
    https://dx.doi.org/10.1021/acs.jpcc.8b11916
    GitHub

  6. S. Fratini and S. Ciuchi
    "Band-like motion and mobility saturation in organic molecular semiconductors"
    Phys. Rev. Lett. 103, 266601 (2009)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.266601

22.3. Disordered spin chains

  1. Kenneth D. McAlpine, Simone Paganelli, Sergio Ciuchi, Anna Sanpera, and Gabriele De Chiara
    "Magnetic phases of spin-1 lattice gases with random interactions"
    Phys. Rev. B 95, 235128 (2017)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.95.235128

22.4. Anderson Transition and charge-lattice interaction

  1. D. Di Sante, S. Ciuchi
    "Strong interplay between electron-phonon interaction and disorder in low doped systems."
    Phys. Rev. B 90, 075111 (2014)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.90.075111

  2. Y.F. Nie, D. Di Sante, S. Chatterjee, P.D.C. King, M. Uchida, S. Ciuchi, D.G. Schlom, and K.M. Shen
    "Formation and observation of a quasi-two-dimensional dxy electron liquid in epitaxially stabilized Sr2-xLaxTiO4 thin films"
    Phys. Rev. Lett. 115, 096405 (2015)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.115.096405

  3. Domenico Di Sante, Simone Fratini, Vladimir Dobrosavljević, and Sergio Ciuchi
    "Disorder-driven metal-insulator transitions in deformable lattices"
    Phys. Rev. Lett 118 036602 (2017)
    https://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.118.036602

  4. S. Ciuchi, D. Di Sante, V. Dobrosavljević and S. Fratini
    "The origin of Mooij correlations in disordered metals"
    npj Quantum Materials 3, 44 (2018)
    https://dx.doi.org/10.1038/s41535-018-0119-y

23. Bonus tracks

23.1. La localizzazione di Anderson (III)

Slide 21

  • Anche nello stato normale vi è una lunghezza di correlazione che diverge! Solo aldilà di questa lunghezza il moto è diffusivo! Questo risultato è dovuta ad una acuta analisi di Thouless.

  • Le correzioni quantistiche e quindi anche quelle legate alla localizzazione sono importanti quando la lunghezza di coerenza e dell’ordine del cammino libero medio.

Note I risultati ottenuti sono stati dimostrati in un modello dove comunque sempre un potenziale periodico è presente ma sono più generali quando applicati a modelli in assenza di potenziale periodico sono validi a basse energie. Questo è vero p.es. nel caso della localizzazione della luce.

23.2. La teoria di scaling di Abrhams Anderson Licciradello Ramakrishnan

Slide 22

  • La conduttanza adimensionale ($g$) è la chiave della comprensione del problema.

  • In particolare come "scala" la conduttanza con la lunghezza nella direzione in cui è posto il campo elettrico.

  • Vi è una unità quantistica fondamentale per la conduttanza.

  • La funzione di scala $\beta(g)$ rappresenta l’esponente (o la velocità logaritmica) con cui la conduttanza adimensionale dipende da L essa è solo funzione di $g$.

Note (Figura) Se la velocità $\beta(g)$ è positiva la conduttanza scala verso il punto fisso "conduttore" $\Omega$-co che è il punto alla estrema destra nella figura se invece è negativa scala verso il punto fisso "isolante". Sivede che a d=1 e d=2 i punti fissi stabili sono solo isolanti. A d=3 invece ho una transizione di fase quantistica in cui posso introdurre l’analogo della lunghezza di correlazione nei fenomeni critici. Essa ha il significato di lunghezza di localizzazione per $W<W_c$ o di lunghezza di ripristino della $\Omega$-icità per $W>W_c$.

23.3. Localizzazione Dinamica in pillole

l’idea è di esprimere il coefficiente di diffusione

D=L2(𝜏in)/2𝜏in

dove 𝜏in è il tempo caratteristico associato alle fluttuazioni dei parametri dell’Hamiltoniano. Questo si può derivare applicando il formalismo di Green-Kubo (risposta lineare) alla funzione di correlazione dell’anticommutatore delle velocità dei portatoru di carica.

L2(𝜏in) si può calcolare modellizzando il sistema nel quale il disordine è statico.

Dal coefficiente di diffusione si ottiene la mobilità del sistema.

Le proprietà ottiche si ricavano nel formalismo di Green-Kubo supponendo un unico tempo caratteristico per la variazione temporale dei parametri dell’Hamiltoniano.

23.4. Transizione vetrosa

Slide 23
Note Qui spiego un po cosa è la funzione di va Hove e cioè la funzione di correlazione della densità che ulteriormente può essere suddivisa in una parte self (relativa ad una stessa particella ed a un distinct (relativa a due particelle diverse). Nel grafico è riportato l’andamento di $F(K,t)$ per la parte self e ad un dato k corrispondente al primo picco del fattore di struttura statico. Si vede come al diminuire della temperatura si crei un plateau.

23.5. p-spin spin glasses

Slide 24
Note Qui mostro che in un modello dove non solo ho interazione fra coppie di spin come nel modello di Edwards-Anderson ma anche interazioni a più spin: il modello p-spin per gli spin glass è essenziale che ci siano interazioni a p>2 cioè a più di due spin per ritrovare l’andamento tipico della autocorrelazione di un vettro fragile (transizioni di tipo B nella figura.)